Andregradslikning

En andregradslikning er en likning i én variabel hvor kun konstanter, førstegradsledd (som 2x) og andregradsledd (som 3x2) inngår.

Hvis andregradslikningen skrives som $ax^2 + bx + c = 0$, så kan løsningen(e) skrives som

(1)
\begin{align} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align}

Denne formelen kan motiveres ved å se på al-Khwārizmīs måte å løse andregradslikninger på. Og den kan utledes ved å lage fullstendig kvadrat:

(2)
\begin{equation} ax^2 + bx + c = 0 \end{equation}
(3)
\begin{align} x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \end{align}
(4)
\begin{align} x^2 + \frac{b}{a}x + ( \frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + ( \frac{b}{2a})^2 \end{align}
(5)
\begin{align} (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \end{align}
(6)
\begin{align} (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \end{align}
(7)
\begin{align} x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \end{align}
(8)
\begin{align} x = - \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align}
(9)
\begin{align} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align}

Andregradslikninger kan naturligvis også løses grafisk.

Allerede babylonerne kunne løse andregradslikninger. Her er en tekst fra ei leirtavle (med modernisering av tallnotasjonen): "Flaten og siden har jeg addert, og 00:45 er det. Ta 01, koeffisienten. Halvdelen av 01 brekker du av. Du får 00;30 og 00;30 multipliserer du. Du føyer 00;15 til 00;45. 01 har 01 som kvadratrot. 00;30 som du multipliserte, trekker du fra 01, og 00;30 er siden." Hvordan dette kan tolkes, forklares i [1].

Et eksempel på en andregradslikning fra Egypt (Moskvapapyrusen): "Arealet til et rektangel er 12, og bredden er 1/2 og 1/4 [altså 3/4] av lengden. Hva er dimensjonene?"[1]

Bibliography
1. Onstad, Torgeir: Likningenes historie – fra Babel til Abel, NKS fjernundervisning, 1993. Bibsys
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License