Bertrands kordeparadoks

Bertrands kordeparadoks ble publisert av Joseph Louis François Bertrand i 1888. Spørsmålet er enkelt: Du har en sirkel med radius 1 cm, og velger en tilfeldig korde. Hva er sannsynligheten for at denne korden har lengde større enn $\sqrt{3}$ cm? Du kan jo prøve å svare selv, før du går videre med følgende tre svaralternativer:

1) Pga. symmetri kan vi tenke oss at korden har en bestemt retning, for eksempel at den går loddrett gjennom sirkelen. Ved litt regning ser vi at det er de kordene som ligger mindre enn ½ cm fra sentrum i sirkelen, som har lenge større enn $\sqrt{3}$ cm, mens de som ligger mer enn ½ cm fra sentrum, vil ha kortere lengde. Altså er det halvparten av avstandene som gir ønsket lengde, så sannsynligheten er 1/2.
2) Pga. symmetri kan vi velge et punkt på sirkelen som korden skal gå gjennom. Spørsmålet blir da kun hvilken vinkel korden skal ha i forhold til tangenten til sirkelen. Litt regning viser at det kun er de kordene som har vinkel større enn 60 grader i forhold til tangenten, som har lenge større enn $\sqrt{3}$ cm. Av i alt 180 grader, er det altså kun en sektor på 60 grader som gir ønsket lengde, så sannsynligheten blir 1/3.
3) Å velge tilfeldig en korde er det samme som å velge midtpunktet M på korden. Korden får lengde $\sqrt{3}$ cm hvis og bare hvis M ligger innenfor en sirkel med radius ½. Denne sirkelen har bare en fjerdedel av den store sirkelens areal. Derfor blir sannsynligheten ¼.

Hvilket av disse alternativene er riktig? (Eller er kanskje alle riktige? Eller ingen?)

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License