Bijektiv

bijektiv – fra latin bi- ”to”

En funksjon kalles bijektiv hvis den er både injektiv og surjektiv. (Se nedenfor.)

En funksjon er definert som en regel som til hvert element i en mengde A tilordner et element i en annen mengde B. For eksempel vil funksjonen f(x) = x3 være en funksjon fra mengden av reelle tall til den samme mengden av reelle tall.

En funksjon kalles injektiv hvis elementene i A havner på hvert sitt element i B.
En funksjon kalles surjektiv hvis hvert element i B "treffes" av funksjonen.
Er den begge deler, er den altså bijektiv.

Eksempel

Funksjonen f ovenfor er injektiv fordi det ikke er mulig at f(x)=f(y) (altså at x3=y3) hvis ikke også x=y.
Funksjonen er surjektiv fordi ethvert reelt tall x treffes av funksjonen - det er bare å sette inn tredjerota av x i funksjonen.
Dermed er funksjonen bijektiv.

Eksempel 2

Vi kan lage en funksjon som til hver by (i mengden av alle byer i verden) tilordner landet byen ligger i (i mengden av alle land). (Vi ser her bort fra at byer i prinsippet kan være delt mellom flere land.)

Denne funksjonen vil være surjektiv, fordi alle land vil treffes av funksjonen, fordi alle land har en eller flere byer som vi kan putte inn i funksjonen.
Den er derimot ikke injektiv, for det finnes flere byer som gir samme land som resultat.
Funksjonen er derfor ikke bijektiv.

Eksempel 3

Funksjonen $f(x) = x^2$ som går fra mengden av alle reelle tall til mengden av alle reelle tall, er ikke bijektiv. Den er faktisk verken injektiv eller surjektiv.

Litteratur

Wikipedia: Bijeksjon

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License