Brøk

brøk - fra lavtysk brok, eg. ”brudd”. En brøk er et tall som kan skrives på formen a/b der a og b er heltall og b ikke er null. a kalles teller og b kalles nevner. Streken mellom teller og nevner kalles brøkstrek. Brøker som er større enn (eller lik) 1 kaller vi uekte brøker, brøker som er mindre enn 1 kaller vi ekte brøker. Vi kan også skrive brøker som desimaltall (det er derfor desimaltall ofte kalles desimalbrøk).

Tilnærmingsmåter

Vi skiller gjerne mellom ulike måter å tilnærme seg brøkbegrepet på:

Måte Eksempel
brøk som del av en helhet 3 av de 4 eplene er grønne: 3/4 av eplene er grønne
brøk som del av en enhet Det er 3 gutter og 4 jenter: det er 3/4 så mange gutter som jenter
Linjalen er 3/4 dm lang
brøk som et tall på tallinja 3/4 ligger mellom 0,7 og 0,8 på tallinja
brøk som forhold mellom to hele tall 3 er 3/4 av 4
brøk som en forstørrelsesfaktor Vi skal forminske en figur så 4 cm i virkeligheten blir 3 cm på den nye: alle mål multipliseres med 3/4
brøk som et regnestykke (og da kan brøkstreken byttes ut med et deletegn) 3:4

Poenget med å se på brøk på ulike måter, er både at vi kommer borti brøk på disse måtene og at det varierer hvor egnet de forskjellige måtene er for videre arbeid med brøk. Ser man utelukkende på brøk som antall deler av en helhet, blir det vanskelig å tolke brøken 4/3. Uekte brøker blir derimot fullt forståelige med andre av måtene. For eksempel: "Det er 4/3 så mange jenter som gutter" eller "4 er 4/3 av 3" gir mening.

Når man etter hvert skal operere på brøker, for eksempel multiplisere brøker med hverandre, er det igjen en fordel å kunne variere.

Konkretiseringer

Det finnes flere typer konkretiseringer av brøk som er egnet til arbeid i skolen:

Både brøksirkler og tegninger av for eksempel pizzaer (altså sirkulære) har den ulempen at det kan bli vanskelig å illustrere brøker større enn én uten at det blir rom for misforståelser. Men som en introduksjon til brøk kan klokken være et godt hjelpemiddel til å lære seg stambrøker, siden klokken er kjent kunnskap. Se Brøk og klokke

Brøk i undersøkelseslandskap

Undersøkelseslandskap er en undervisningsform introdusert av dansken Ole Skovsmose (Alrø og Skovsmose, 2005). Tanken bak denne undervisningsformen er at læreren skal legge til rette for at elevene arbeider med matematikk på en undersøkende måte. I tradisjonell matematikkundervisning har læreren ofte et fasitsvar til oppgavene og klasseaktiviteten er preget av å være lærerstyrt. Videre er denne måten å arbeide på blitt knyttet til ferdighetstrening. Matematikken i en slik sammenheng, hevder Skovsmose, handler da først og fremst om det å huske den rette metoden. Skovsmose understreker viktigheten i å la barn tenke gjennom dialog og tankespill seg i mellom og mellom lærer- elev. Denne metoden ønsker å støtte opp om forståelse knyttet til matematikkfaglig kunnskap. Når elevene får jobbe med undersøkende virksomhet kan de utforske og bruke den matematikken de kan, på egne premisser. Samarbeid med andre og evnen til å føre en dialog i arbeidsprosessen er utfordrerne. Forskning viser at barn på denne måten utvikler positive egenskaper som vil styrke videre arbeid. De blir mer trygge med tanke på det å tenke matematikk og på sin egen evne til å resonnere i matematikkfaget (Anghileri, 2006). Barn som skal introduseres for brøkbegrepet kan ofte ha utbytte av å undersøke og utvikle en forståelse for hva brøk er. Nedenfor vil jeg gi et eksempel på et undervisningsopplegg som kan hjelpe elevene i gang med arbeid om brøk. I forkant av dette opplegget kan det være lurt å ha snakket litt brøk med elevene.

Undervisningsopplegg

Elevene får utdelt en sirkelformet figur som er delt opp i 8 like deler. Oppgaven har til hensikt at barna skal diskutere og «snakke matematikk» med hverandre. Elevene får følgende opplysninger:

1) Lag en regnefortelling
2) Tegne/vise med konkreter
3) Skriv svar med brøk og tekst.

På denne måten får elevene utforsket og blir kjent med ulike deler av brøkbegrepet. De kan klippe figuren i 8 løse deler og prøve å feile seg frem til en oppgave de for eksempel skal presentere for klassen avslutningsvis. De får sette ord på matematikken. Videre får de underbygge dette ved å vise hvordan de har tenkt ved hjelp av tegning eller konkret. Til slutt får de bli kjent med notasjon med brøk og tekst.

Et eksempel på en «ikke oppgave» i denne sammenhengen er følgende(med utgangspunkt i oppgaven over): Oppgaven, «Her er det en figur med 8 deler. Hvor stor del er halvparten?» Her er det kun et fasitsvar som er 4/8, som igjen kan skrives som 2/4 som igjen er en halv. Dette er ikke en «ikke oppgave» i brøk men i henhold til det vi har skrevet om. Mange oppgaver i norske lærebøker er nettopp slik. Denne kan være en fin introoppgave men ikke alle oppgavene kan være slik. Om barn skal få en allsidig forståelse av brøkbegrepet må læreren ytterligere utvide og variere oppgavene og undervisningsmetode.

Tips til litteratur:

(Bondø, 2010)

Læreverket: (McIntosh, Settemsdal, & Stedøy-Johansen, 2007, s. 27)

Regning med brøk

Addisjon av brøk

Det viktigste poenget å få med seg når man skal addere brøker, er at man må sørge for at nevnerne er like store før man adderer. Her er ulike former for konkreter nyttige. Når man tegner brøkene, for eksempel, kan elevene se at 1/3 og 1/4 er av ulike størrelser, og at det ikke gir mening å kalle dette 2/7 eller liknende. (Men markerer man 1/3 i én sirkel og 1/4 i en annen sirkel, vil elevene ganske riktig kunne påpeke at 2 av 7 felter er markert. Derfor er det viktig å velge illustrasjoner med omhu.)

Deler man et rektangel i tre kolonner og fire rader, vil man se at 1/3 tilsvarer én kolonne (4 ruter) og 1/4 tilsvarer én rad (3 ruter), ialt 7 av 12 ruter. Så summen er 7/12.

Man finner fellesnevner for eksempel ved å multiplisere de opprinnelige nevnerne, eventuelt ved bruk av minste felles multiplum.

Subtraksjon av brøk

Subtraksjon av brøk inneholder ikke særlige utfordringer ut over det addisjon gjør. Riktignok må vi være forsiktig med det språklige: Hvis jeg sier at "Jeg hadde ei halv kake, og så kom Frode og spiste en fjerdedel." kan det være uklart om Frode spiste en fjerdedel av hele kaka eller en fjerdedel av det jeg hadde.

Multiplikasjon av brøk

Multiplikasjon av brøk er begrepsmessig utfordrende men teknisk svært enkelt - og det er en didaktisk ekstrautfordring. Det kan være vanskelig å få elevene til å reflektere over det begrepsmessige når de fort får til å multiplisere "teller med teller" og "nevner med nevner". I neste omgang kan dette føre til at brøkregning blir en samling med regler som elevene ikke er trygge på.

Regnestykket $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}$ kan ha utspring i mange situasjoner. For eksempel kan det være at du skal ha 3/4 av en mengde på 2/3 liter. Eller du skal finne et tall som er 3/4 så stort som tallet 2/3.

Den kanskje enkleste måten å illustrere multiplikasjon av brøk på, er likevel å bruke arealmodellen for multiplikasjon. Vi tolker $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}$ som at vi har et rektangel hvor vi i den ene retningen har markert 3/4 og i den andre retningen har markert 2/3. Hva har vi da markert i alt?

Vi som er kjent med brøk kan tro at det er opplagt at det å multiplisere med 1/3 er det samme som "å ta en tredel av", for eksempel. Men dette er det slett ikke sikkert at elevene forstår, og det er ikke så rart. Hvis vi forklarer multiplikasjon med 1/3 ved å hoppe direkte over til "å ta en tredel av", er det rimelig at noen elever faller av.

Divisjon av brøk

Divisjon av brøk er ikke helt enkelt, og det er gjerne gunstig å tilnærme seg dette skritt for skritt:

Divisjon av brøk med heltall

$\frac{1}{3} : 4$ kan illustreres og det er ikke så vanskelig å se at nevneren i svaret blir 12.

Divisjon av heltall med stambrøk

$4 : \frac{1}{3}$ kan man tilnærme seg ved hjelp av regnefortellinger hvor man bruker målingsdivisjon. For eksempel: "Du har 4 liter melk og hvert glass tar 1/3 liter. Hvor mange glass kan du fylle opp?" Dette kan man tegne eller konkretisere, og man ser at man får 12 glass.

Det er en fordel å begynne med stambrøker før man går over til brøker med andre tellere enn 1.

Divisjon av heltall med brøk

Etter arbeid med divisjon av heltall med stambrøk, er det ikke så vanskelig å se at hvis de 4 litrene med melk skal deles i store glass som tar 2/3 liter, må det bli halvparten så mange glass. For man må jo nå slå sammen to og to av de "gamle" glassene for å få fylt et nytt glass. Altså: Å dividere med 1/3 gir samme resultat som å multiplisere med 3, mens det å dividere med 2/3 gir samme resultat som å multiplisere med 3 og så dividere med 2.

Divisjon av brøk med brøk

Først deretter er det vel naturlig å gå over til å dividere brøk med brøk. Det er fordel å ha velvalgte problemstillinger som det er mulig å tegne opp og/eller lage gode regnefortellinger til. For eksempel: "Du har 3/4 meter stoff som du skal dele i biter på 1/8 meter hver. Hvor mange biter får du?"

Bevis for å kunne snu bakerste brøk

Mange har lært på skolen at vi snur den bakerste brøken når vi dividerer brøker. Mange gjør dette uten å forstå hvorfor vi kan gjøre det. Her skal vi forklare hvorfor man kan snu den bakerste brøken.

$\frac{1}{2}:\frac{1}{4}$
$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}$ For å få vekk den nederste brøken multipliserer vi med den nederste brøkens motsatte brøk $\frac{4}{1}$ både oppe og nede. Dette for å få en hel brøk nede.
$\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{1}}{\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{1}=\frac{4}{4}=1}$ Grunnen til at vi ønsker en hel nede er fordi når man står igjen med en hel kan den fjernes.
$\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{1}=\frac{4}{2}=2$ Hvis vi nå ser på brøkstykket som ble regnet ut er den bakerste brøken snudd i forhold til utgangspunktet ( $\frac{1}{2}:\frac{1}{4}$ ) og regnearten har blitt endret fra divisjon til mulitplikasjon. Derfor kan man stole på regelen om at divisjon av brøker kan løses ved å snu bakerste brøk og multiplisere

Omgjøring mellom brøk og desimaltall

Prosent og brøk blir begge deler brukt til å angi en del av en helhet. Prosent betyr "per hundre".

flickr:6975682637 flickr:6975682625

Regne mellom brøk og prosent

For å gjøre en brøk om til prosent deler man telleren på nevneren og multipliserer svaret med hundre.
eks: flickr:6975682629For å gjøre prosent om til brøk så kan man dele på hundre og så får man en brøk. Denne brøken kan siden forkortes
eks: flickr:6829583296

Historie

I det gamle Egypt arbeidet man med stambrøker, brøker der teller var 1. (Eller rettere sagt: man hadde en skrivemåte for brøk som kun markerte hvor mange deler enheten var delt i, at det var én bit man hadde, var underforstått.)

Et eksempel på bruk av brøk kan man finne i Gulatingsloven, hvor den bot som en drapsmann må betale til offerets slektninger beregnes ved brøker og forholdstall. Hvis boten til en bror settes til 6 mark, skal boten til en farbror settes til 4 mark 8 ertog. Men hva hvis boten til en bror settes til 5 mark? (Se Brun, Viggo: Regnekunsten i det gamle Norge. Universitetsforlaget 1961. Bibsys (s. 14-18) for mer om dette).

Undervisningsopplegg

Befruktning
Brøk og prosent
Egyptiske stambrøker

Videoer

Skole i praksis: Pizza og brøk

Artikler

Martinussen, Geir og Smestad, Bjørn: Multiplikasjon og divisjon av brøk. Tangenten 1/2010.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License