Derivasjon

derivasjon – avlede, utlede (eller å danne avledet funksjon) fra latin derivare ”å dra av (vann)”

Undervisning

Det er flere mulige innganger til å undervise derivasjon, og her skisseres tre:

Forståelse av hva den deriverte er ut fra arbeid med grafer

En relativt forståelig inngang til derivasjon kan gå være via arbeid med grafer. Gjennom grunnskolen er elevene blitt kjent med betydningen av stigningstallet til ei rett linje og tolkninger av det i praktiske situasjoner. Gjennom arbeid med (andre) praktiske situasjoner, kan de bli forstå at det kan være interessant å finne "stigningstallet" også til en funksjon som ikke er lineær. De kan selv oppdage - eller bli fortalt - at det er tangenten til grafen som gir et best bilde av stigningen i et punkt. De kan også se at man kan tilnærme seg tangenten ved å finne linjer som går gjennom to punkter som kommer nærmere og nærmere hverandre.

Formelinnlæring

For raskt å få et innblikk i styrken til derivasjon, kan det muligens forsvares å gi elevene formelverket først. Reglene for å derivere polynomfunksjoner er såpass oversiktlige at elevene raskt kan være i gang med å derivere. De kan derfor også raskt oppdage at de på denne måten kan finne ut ting om stigningen til funksjoner - og kanskje også bli motivert til å forstå bakgrunnen.

Den matematiske begrunnelsen

Den matematiske begrunnelsen for derivasjon tok lang tid å utvikle - for eksempel var Isaac Newton ute av stand til å gi en forklaring som kunne godtas av hans samtidige. En fullgod forklaring kom ikke før grensebegrepet var utviklet lenge etter.

Derfor er det kanskje brutalt å starte der med elevene. Når matematikere brukte derivasjon i mange år uten solid begrunnelse - ganske enkelt fordi de så at det virket - kan kanskje også elevene få vente med det.

Historie

Historien kan fortelles på flere måter – og jeg velger den engelske versjonen først: En av verdens største matematikere – og kanskje den aller største fysikeren – var Isaac Newton. I 1666 var det pestutbrudd, og han oppholdt seg derfor hjemme i Lincolnshire. Han prøvde å lage en sammenhengende teori for all bevegelse – både bevegelser på jorda og de store bevegelsene i himmelrommet. Men han hadde ikke de matematikkverktøyene som han trengte. På egen hånd utviklet han derfor det vi i dag kaller “calculus” - hvor hovedelementene er derivasjon og integrasjon. (Kortversjon: vet du en formel for hvordan farten utvikler seg, kan du ved derivasjon finne aksellerasjonen, med integrasjon kan du finne hvor langt man har beveget seg. Og ut fra formel for strekning, kan man derivere seg til formelen for fart…)

Den franske versjonen er en litt annen. Gottfried Leibniz holdt ikke på med planetbaner og sånt, men utviklet allikevel teorien for derivasjon og integrasjon, og publiserte en sammenhengende framstilling av det lenge før Newton hadde publisert noe som var i nærheten av holdbart.

Dette var et klassisk eksempel på at flere, uavhengig av hverandre, klarer å utvikle det samme. Men det interessante er at matematikken er utviklet til et spesielt formål. Igjen er vi tilbake i spenningen mellom det praktiske og det rent teoretiske. Mye matematikk er utviklet for å løse rent "praktiske" problemer – som å forklare og forutsi bevegelser. (Kanonkuler er relativt håndfaste for de som havner i veien for dem.) Men tilsvarende er mye matematikk utviklet for å utvikle matematikk. Begge deler er verdifulle motivasjoner.

For matematikken var nok fighten mellom franskmenn og engelskmenn ganske ødeleggende – og spesielt for engelsk matematikk, som i årene som fulgte var mest opptatt av å forsvare Newtons ære.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License