Euklidsk geometri

I tidligere tider var "Euklid" synonymt med "geometri" i engelske skoler. Euklids bok Elementene hadde en helt dominerende rolle i bevisstheten om hva geometri var: det var en stringent oppbygget vitenskap med utgangspunkt i noen grunnleggende aksiomer, postulater og definisjoner.

Aksiomene og postulatene var:
A1. To ting som er like med en tredje, er også innbyrdes like.
A2. Hvis like deler adderes til like ting, er også resultatene like.
A3. Hvis like deler trekkes fra like ting, er også resultatene like.
A4. Ting som faller sammen er like.
A5. Det hele er større enn en del.
P1. Det er mulig å trekke et rett linjestykke fra et punkt til et annet punkt.
P2. Det er mulig å forlenge et linjestykke til en rett linje.
P3. Det er mulig å slå en sirkel med et hvilket som helst punkt som senter med radius lik hvilket som helst linjestykke som starter i senteret.
P4. Alle rette vinkler er like.
P5. Hvis en rett linje skjærer to rette linjer slik at de indre vinklene på den ene siden tilsammen utgjør mindre enn to rette vinkler, da vil de to linjene møte hverandre. Det vil skje på den siden der de vinklene lå som tilsammen var mindre enn to rette vinkler.[1]

P5 kalles også parallellaksiomet. Dette ser mer ut som et teorem enn et aksiom, og mange prøvde i århundrenes løp å bevise P5 ut fra A1-A5 og P1-P4. Men med János Bolyai og Nikolai Lobachevsky sine arbeider på 1800-tallet ble det klart at det også kunne finnes interessante ikke-euklidske geometrier, altså geometrier der man erstatter P5 med andre aksiomer. Disse geometriene gir god mening i seg selv, selv om de ikke tilsvarer med vår "vanlige" geometri. "Den eldgamle overbevisningen, eller skulle man sagt det eldgamle paradigme, om at det bare fantes en mulig geometri ble endelig lagt i grus. Geometrien ble frigjort og det åpnet seg muligheten for mange forskjellige geometrier. Gjennom oppfinnelsen av de mer "kunstige" geometriene ble også de båndene som knyttet geometrien så tett til det fysiske rommet løsnet. Geometriens postulater ble dermed for en matematiker bare hypoteser hvis fysiske sannhet eller falskhet ikke behøvde å bry ham, bare systemet var konsistent. Dermed får denne oppdagelsen av de ikke-euklidske geometriene som for mange kanskje bare var en liten pussig detalj i matematikkhistorien, enorme konsekvenser for selvoppfattelsen av matematikken og også matematikeren. Var hans oppgave hittil å beskrive den fysiske verdenen, så kunne han nå selv være med å lage nye verdener og skape nye univers."[1]

Bibliography
1. Kirfel, Christoph: Kriser i matematikken, i "Naturvitere filosoferer". Megaloceros forlag 1997. Bibsys
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License