Forventningsverdi

Forventningsverdien er et tall som er knyttet til et eksperiment og som er slik at hvis man gjentar eksperimentet mange ganger, vil gjennomsnittet av utfallene i det lange løp nærme seg forventningsverdien.

Oppgave: Jeg skal sende et maleri med hurtigruta, og ønsker å forsikre det. Maleriet er verdt 15000 kroner, og vi er enige om at det er cirka 0,001 (altså en promille) sjanse for at maleriet blir ødelagt på veien. Hvor mye er det rimelig at jeg betaler for denne forsikringen?

Et dokument fra Genova fra 1343 regnes som den første virkelige forsikringskontrakten – den dreide seg om en last med ull som skulle fraktes fra Pisa til Sicilia. Den første boken om forsikring – Om forsikring og kjøpmenns veddemål av den portugisiske juristen Santerna – ble utgitt i 1552, men ble skrevet i 1488. Fra tiden det ble vanlig å forsikre ting, må vi regne med at det også ble vanlig å vurdere sannsynligheten for at visse hendelser skulle inntreffe. Vi ser ikke noen tegn til at de fastsatte sannsynligheten som sådan med tall, men de må nødvendigvis ha vurdert om det er stor eller liten sannsynlighet for at for eksempel et skip skulle gå ned. Siden de måtte fastsette en pris, måtte de jo oversette vurderingen til et tall. (Vi ser da også at forsikringene var dyrere når reisen var lengre og i farligere farvann.)

En vanlig måte for italienske stater å hente inn penger på var å selge livspoliser – hvor du betalte et beløp mot å motta et mindre beløp hvert år så lenge du levde. Her også var det naturligvis viktig å tenke på sannsynligheter – nærmere bestemt sannsynligheten for at personen skulle leve så og så lenge. (Men det finnes nok av eksempler på at behovet for penger i krisesituasjoner var mer utslagsgivende på prisene enn sannsynlighetsbetrakninger.)

Tilbake til oppgaven: La oss et øyeblikk tenke oss at jeg skal sende 1000 malerier (på hvert sitt skip). Det er rimelig å regne med at ca. et maleri blir ødelagt, og at jeg da har mistet 15000 kroner. Dermed er det rimelig at jeg betaler 15000 kroner (det vil si 15 kroner pr maleri) for å slippe denne risikoen. Eller for å si det på en annen måte: jeg multipliserer sannsynligheten for å tape penger med summen jeg da i så fall taper. (I tillegg vil naturligvis forsikringsselskapet ha en viss fortjeneste, men det går vi ikke inn på her.)

Oppgave: La oss si at jeg er i den heldige situasjonen at jeg skal kaste en mynt én gang, og noen har lovet meg 10 kroner hvis jeg får kron, mens jeg ikke får noenting hvis jeg får mynt. Hva kan jeg da forvente å få? Jo, naturligvis 0 eller 10 kroner, med 50 % sannsynlighet for hver. Hvor mye burde jeg være villig til å betale for å få lov til å spille dette ”spillet”?

Det er vel naturlig å foreslå 5 kroner – og dette kaller vi forventningsverdien til dette spillet. En måte å se det på er at forventningsverdien er det jeg i gjennomsnitt ville kunne vente å få hvis jeg kastet mynten mange ganger. Hvis jeg kaster denne mynten mange, mange ganger, sier store talls lov meg at jeg vil få kron cirka halvparten av gangene og mynt cirka halvparten. Altså vil jeg vinne 10 kroner cirka halvparten av gangene, noe som skulle tilsi 5 kroner per gang i snitt. (Jeg ville naturligvis ønske å betale litt mindre enn 5 kroner, slik at spillet ville vært gunstig for meg. Min motspiller ville ønske det motsatte. Det er 5 kroner som gir et ”rettferdig” spill.)

Det er viktig å være oppmerksom på at forventningsverdien ikke er det jeg ”kan forvente” å få – i dette eksemplet var forventningsverdien 5 kroner, selv om det er helt umulig å få fem kroner på et kast.

Noen oppgaver knyttet til forventningsverdi

Oppgave 1
a) La oss si at jeg tilbyr deg følgende spill: du skal kaste en mynt – hvis du får mynt, skal du få 10 kroner i premie, mens hvis du får kron, skal du få 2 kroner. Hvor mye er dette spillet verdt (dvs. hva er grensen for hvor mange penger du bør gi meg for å få lov til å spille dette spillet en gang?)
b) La oss gå over til terningspill: Du skal få 16 kroner hvis du får en sekser, og ellers får du like mange kroner som terningen viser. Hvor mye er dette spillet verdt?
c) Hva er sannsynligheten for at du vinner, hvis du satser det beløpet som du kom fram til i b)? Og hvordan vil det gå i lengden? (hvis vi spiller mange ganger)

Oppgave 2 (forutsetter kjennskap til Yatzy)
Du spiller Yatzy, og det er din siste omgang. Alt du har igjen å kaste på er hus. Du har kastet to kast, og sitter med følgende terninger før det siste kastet: 5, 5, 5, 2, 1. Naturligvis beholder du femmerene og kaster om igjen eneren, men bør du beholde eller kaste om igjen toeren? (Vi forutsetter at du ikke har oversikt over nøyaktig hvordan du ligger an i forhold til motstanderne dine, så du må konsentrere deg om å få flest mulig poeng selv).
Hvis du er usikker på hvordan du skal gripe saken an, kan du følge denne oppskriften:
• Regn ut forventningsverdien din ved å beholde toeren. (Din eneste sjanse til å få noen poeng er jo da å få en toer også med den siste terningen).
• Regn ut forventningsverdien din ved å kaste om igjen både eneren og toeren. (Da får du hus hvis du får 1 og 1, 2 og 2, 3 og 3, 4 og 4 eller 6 og 6 på de to siste terningene, og hver av disse mulighetene gir forskjellig poengsum).
• Sammenlikn de to forventningsverdiene.

Oppgave 3
I spillet Flax hos Norsk tipping koster et lodd 20 kroner. Premiene (pr. 4 millioner solgte lodd) er som følger:

a) Hvor stor er sannsynligheten for å vinne 500.000 kroner på et Flaxlodd?
b) Hvor stor er sannsynligheten for å vinne 10.000 kroner eller mer på et Flaxlodd?
c) Hvor mye er et flaxlodd ”verdt” (hvis du kun ser på pengene og ikke på underholdningsverdien)? (Dette kan du regne ut på (minst) to forskjellige måter – finn begge!)
d) Loddene med ”premie” på 20 kroner kan du se på på to måter: enten som et lodd med premie på 20 kroner (som Norsk Tipping vil si), eller som ”feilvare”, hvor du får igjen et nytt lodd. Ser du det på denne siste måten, vil du kunne regne ut verdien av loddene ved å se bort fra de 560.000 loddene som uansett bare gir deg et nytt lodd. Hva er da et flaxlodd ”verdt”?
(Ps: Både prisen og premiesummene endres stadig. Sjekk gjerne hvordan reglene er akkurat nå.)

Oppgave 4
I Bjørns lotteri ”Uflax” koster også loddene 20 kroner stykket, og premiene er som følger (pr. 4 millioner solgte lodd):

Hva er et Uflaxlodd verdt? (Regn ut med begge betraktningsmåtene som er nevnt i oppg. 3 c.) Sammenlikn med oppgave 3. Hvilket lotteri lønner seg i lengden?

Oppgave 5
I 1308 inngikk erkebiskopen av Bremen en avtale med Abbey of St. Denis. Han skulle betale 2400 livres med en gang, mot at han skulle få en årlig tilbakebetaling på 400 livres.
a) Hvor mange år forventet Abbey of St. Denis at erkebiskopen skulle leve?
I 1323 gikk abbeden til rettssak og påsto at kontrakten var ugyldig siden den var klart ufordelaktig for abbediet.
b) Hvordan kan man gå fram for å vurdere en slik sak?
I 1327 døde erkebiskopen.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License