Fraktal

En fraktal er en geometrisk form som kan deles i biter, hvor hver bit er tilnærmet en forminsket kopi av det hele.

Den første boka om fraktaler var Form, Chance and Dimension av Benoit Mandelbrot, og den kom ut i 1977. Til å begynne med trodde man kanskje at dette var en uviktig sidegren av matematikken, men snart begynte man å se anvendelser (for eksempel innen bildebehandling, fluidmekanikk og til og med antenneproduksjon), og i dag er det mye forskning innen dette.

I skolen kan man for eksempel lage trappetrinnsfraktalen. Se også Sierpinski-trekanten.

Wikipedia: Fractal

Utdypende beskrivelse

En fraktal er et geometrisk objekt som i alle målestokker er ru eller uregelmessig, i motsetning til de "vanlige" geometriske objektene som trekant, som er sammensatt av helt rette linjer. Noen av de beste eksemplene kan deles slik at hver av delene ligner det originale objektet. Man ser ofte at et fraktal kan genereres hvis en bruker gjentagende mønster gjennom en rekursiv eller iterativ prosess. Før Benoît Mandelbrot brukte begrepet fraktal i 1975, ble fraktal omtalt som "monsterkurver".

Originalt ble fraktaler studert som matematiske objekter. Fraktalgeometri studerer egenskapene til slike fraktaler. Fraktalgeometri kan beskrive situasjoner som en ikke kan forklare med klassisk geometri, og man bruker ofte dette i vitenskap, teknologi og datagenerert kunst. En kan spore de konseptuelle røttene til fraktaler tilbake til forsøk på å måle størrelsen på objekter hvor tradisjonelle definisjoner basert på Euklidisk geometri eller kalkulus svikter. Et eksempel er kystlinjer, som kan virke mulig å måle inntil man går ned i vannkanten og ser at man også på nært hold har mengder av buktninger (rent bortsett fra at bølgene og flo og fjære også gjør det diskutabelt hvor kysten går helt eksakt).

Hvor er matematikken?

Fraktaler er en enkel måte å lage komplekse mønstre og fraktaler kan brukes ved lagring av bildedata og i produksjon av datagrafikk. Vi finner mye i naturen som har en fraktal natur eller en fraktal oppbygging, slik som snøfnugg. Fraktaler spiller en viktig rolle i matematikkgrenen kaosteori.

Historie:

Fraktalene ble oppdaget og studert lenge før Benoît Mandelbrot. Karl Weierstrass fant i 1872 en funksjon med en ikke-intuitiv egenskap: kontinuerlig overalt, men ingen steder deriverbar. Nå ville grafen til denne funksjonen blitt kalt en fraktal. Helge Von Kock ga i 1904 en mer gemoetrisk definisjon av en lignende funksjon som i dag kalles Koch-snøflaket. Dette ble videreført av Paul Pierre Lèvy, som i 1938 skrev en artikkel hvor han beskrev en ny fraktal kurve, nemlig Lèvy C kurven. Georg Cantor viste til eksempler på delmengder av den reelle tallinjen med uvanlige egenskaper. Cantormengdene er nå også kjent som fraktaler.

For å forstå mengder som Cantormengdene, generaliserte matematikere som Carathèodory og Hausdorff det intuitive konseptet dimensjon til å omfatte ikke-heltallige verdier. Dette var en del av bevegelsen i begynnelsen av 1900-tallet, som gikk ut på å skape en beskrivende mengdeteori. Beskrivende mengdeteori er en fortsettelse på samme vei som Cantors forskning som på en måte klassifiserte en mengde punkter i euklidisk rom.

Da datavisualisjon ble brukt på fraktalgeometri viste dette et visuelt argument for at fraktalgeometri kunne forbindes til større ting innen matematikk og vitenskap enn man tidligere trodde, spesielt i sammenheng med ikke-lineær dynamikk, kaosteori og kompleksitet. Noe en kan vise til er hvis man tegner inn Newtons metode som et fraktal, for å vise hvordan grensene mellom forskjellige løsninger er fraktale. Fraktalgeometri ble også brukt i datakomprimering og for å modellere veksten av trær eller utviklingen av et elvebasseng.

Eksempel på en fraktal geometrisk figur:

Undervisningsopplegg:

Skal en undervise om fraktal geometri kan en som lærer introdusere dette ved å la elevene lage fraktale geometriske figurer. Dette er for å gi elevene noe konkret å feste kunnskapen til, og for at elevene skal lære seg å lage fraktal geometriske figurer i praksis. Dermed får de en førstehåndserfaring. For å utføre dette kan man dele ut oppgaveark hvor det står fremgangsmåte og noen spørsmål knyttet til arbeidet. Vi ville gitt dette opplegget til en syvende klasse, fordi det er mye begreper og krevende arbeid for å klare dette, i tillegg må ha kunnskap om geometriske figurer og geometri.

Fraktale stjerner eller snøfnugg. Klippevariant og tegnevariant.

Klippevariant:
Ark i to ulike farger, linjal, passer eller vinkelmåler og saks.
Fremgangsmåte:
1. Klipp ut tre like store likesidede trekanter i fargen du vil stjerna skal være i.
2. Lim to av trekantene sammen, slik at de danner en sekstagget stjerne, og lim disse fast på arket i den andre fargen.
3. Mål omkretsen til stjerna.
4. Klipp den siste trekanten i 9 like store trekanter. Disse vil være like store som taggene til den store stjerna.
5. Lim seks av de nye trekantene på taggene til den store stjerna slik at taggene og de nye trekantene danner nye stjerner.
6. Mål omkretsen til den nye stjerna. Hvordan er arealet i forhold til den store stjerna?
7. Klipp to av de små trekantene i 9 like store trekanter, og lim de på taggene til de andre små trekantene.
8. Trenger du å måle for å finne omkretsen eller kan du regne den ut?
9. Hvordan er arealet i forhold til den store stjerna?
10. Hvordan tror du omkretsen vil endre seg om vi fortsetter med nye trekanter?
11. Vil arealet endre seg på samme måte?
12. Fortsett med å klippe og lime trekanter på stjerna så lenge du får til.

Tegnevariant:
Du trenger ark i ønsket farge, penn eller blyant i ønsket farge, linjal, passer eller vinkelmåler og saks.
Fremgangsmåte:
1. Tegn en likesidet trekant.
2. Tegn en like stor likesidet trekant over den første, rotert slik at trekantene danner en stjerne med seks tagger.
3. I stjerna har du seks likesidede trekanter. Over disse tegner du 6 nye likesidede trekanter slik at du får seks nye, mindre stjerner.
4. Hvor mange nye små likesidede trekanter har du fått? Hvor mange små trekanter får du om du går et skritt videre?
5. Fortsett å lage stjerner av trekanter så lenge du får til.

Ekstraspørsmål:
Denne aktiviteten kan også gjøres ved hjelp av et tegneprogram på en datamaskin. Hvor mange rotasjonsvarianter trenger du av hver trekantstørrelse?

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License