Irrasjonale tall

Irrasjonale tall er alle tall som ikke kan skrives som en brøk med heltall i teller og nevner.

For eksempel er $\sqrt{2}$ et irrasjonalt tall. Det er også $\pi$ (pi).

Oppdagelsen av at $\sqrt{2}$ ikke kan skrives som et forhold mellom to naturlige tall, tilskrives pytagoreerne.

En av de mest kjente anekdotene fra den greske matematikken handler om oppdagelsen av de irrasjonale tallene. Pytagoras var – i likhet med Platon – like mye filosof som matematiker. Han hadde en hel krets av tilhengere – pytagoreerne. En av hovedsetningene i deres filosofi var at “alt er tall” – og da i betydningen heltall eller forhold mellom heltall (blant annet ut fra oppdagelsen av at veldig mye av reglene for hva som gir harmonisk musikk, kan beskrives med tall). Det fulgte av denne teorien at hvis man hadde to linjestykker, ville man alltid kunne finne en måleenhet som gjorde at man kunne angi lengdene av linjestykkene som heltall. Derfor ble det en krise da noen oppdaget at dette ikke stemte. Kanskje så de på et kvadrat, og oppdaget at diagonalen i et kvadrat og sidelengden i et kvadrat ikke begge kunne skrives som et heltall. (Beviset for det er ikke veldig vanskelig.)

Legenden sier at den som oppdaget dette – visstnok Hipposus, ifølge noen legender – ble druknet.

Med vår notasjon, vil vi si at hvis sidelengden i et kvadrat er 1, vil diagonalen være $\sqrt{2}$, og vi vet i dag at $\sqrt{2}$ ikke kan skrives som en brøk av heltall. I tillegg til heltallene og brøker, finnes det altså uendelig mange andre tall som ikke er av de typene.
På skolen jobber vi jo gjerne først med heltall og brøker, og først senere med kvadratrøtter (og tall som pi) – altså igjen i samme rekkefølge som historien. Det kan være nyttig for oss å huske på at det vi kanskje synes er enkelt, var sjokkerende for noen av våre mer intelligente forfedre, og derfor også kan være vanskelig å akseptere for elevene våre.

Temaet behandles også i Platons dialog Menon.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License