Kvadrat

Et kvadrat er en firkant hvor alle sidene er like lange og hvor vinklene er like store. Dermed må også alle kvadrater være parallellogrammer, romber, trapeser, rektangler og draker.

Eksempel (figuren er laget slik at det alltid vil være et kvadrat, samme hva du prøver å endre på): dynamisk illustrasjon av kvadrat

Ut fra definisjonen kan man også slutte at sidene er parvis parallelle, og vinklene mellom linjestykkene som ikke er parallelle er 90°. Dette betyr at kvadratet er en regulær firkant. Dessuten vil diagonalene være like lange, diagonalene halverer hverandre og de står vinkelrett på hverandre.

Square_%28polygon%29.png

Utregninger

Areal

For å finne arealet av et kvadrat, multipliserer man lengden av det ene linjestykket med seg selv. For å finne arealet av et rektangel, må man multiplisere lengde med bredde, men ettersom alle sidene er like lange i et kvadrat, blir formelen for areal lik a∙a eller $a^2$. Hvis man vet arealet av et kvadrat og ønsker å vite hvor lange linjestykkene er, kan man ta kvadratrot av arealet. Eksempel: Arealet av et kvadrat er 25cm2 gir:
√25cm2 = 5cm

Omkrets

For å finne omkretsen av et kvadrat, multipliserer man lengden av ett av linjestykkene med fire. Man kan også addere lengdene av alle linjestykkene, men å multiplisere er det mest effektive.

Formelen for utregning av omkrets av et kvadrat blir derfor: a + a + a + a = 4∙a

Egenskaper

Det er fire krav som må være innfridd for at det kan kalles et kvadrat og ikke bare en firkant. Disse er:

Diagonalene må være like lange
• Den ene diagonalen må gå gjennom den andre diagonalens midtpunkt
• Diagonalene må skjære hverandre på midten
• Diagonalene må stå vinkelrett på hverandre

flickr:5534030613

Det er bare kvadratet som innfrir alle disse kravene. Et rektangel innfrir tre av de fire, nemlig disse:
• Diagonalene er like lange
• Den ene diagonalen går gjennom den andre diagonalens midtpunkt
• Diagonalene skjærer hverandre på midten

flickr:5534733354

Første kvadratsetning
Første kvadratsetning gir en beskrivelse av hva som skjer når vi en sum, a + b, av to tall og multipliserer denne med seg selv. Vi kan multiplisere hvert av leddene i den ene parantesen med hvert av leddene i den andre:

$(a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2$

Nå ser vi at ba = ab, og ab + ab = 2ab, og da får vi denne formelen:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Geometrisk illustrasjon og begrunnelse

Vi kaller denne formelen for den første kvadratsetning fordi positive tall (a+b)2 tolkes som arealet av et kvadrat. Vi ser for oss et kvadrat med sidelengder a + b. Arealet av dette kvadratet må være lik (a+b)2 = (a+b)(a+b).

kvadratsetning.gif

Kvadrattall

Kvadrattall er hele tall som er produkt av to like og hele tall.
Det første kvadrattallet er 0 ( 0∙0 ), neste er 1 ( 1∙1), deretter kommer 4 (2∙2) og så videre.

Kvadratrot
Kvadratrot er egentlig det motsatte av kvadrattall. For å finne ut hvilke tall som er multiplisert med hverandre for å få et kvadrattall, benytter man seg av kvadratrot. Når man tar kvadratroten av et positivt reelt tall, a, vil det positive tallet som er multiplisert med seg selv, gi a som resultat. Kvadratroten til a skrives $\sqrt{a}$. Et eksempel er $\sqrt{25}$ = 5, siden 5∙5 = 25.

Undervisningsforlag

Omkrets av kvadrat: [http://learnlearn.net/Matematikk/Omkrets.htm]
Areal av kvadrat: Areal av kvadrat
Kvadratsetningene: [http://ndla.no/node/3665]
Tekstnøtt. Kvadrat eller likesidet trekant: [http://matematikk.org/_grunnskole/tekstnott/vis.html?tid=105164#]

I undervisningen er det relevant at man arbeider med begrepene, samt den matematiske forståelsen av kvadratets egenskaper og geometriske form.

Nyttige nettsider

Wikipedia: [http://no.wikipedia.org/wiki/Kvadrat]
Matematikk.org: [http://matematikk.org/]
Multi: [http://web2.gyldendal.no/multi/]
http://matte.hiof.no/vrekka/geometri/kvadrat/p-kvadrat.html
http://www.matematikk.net/klassetrinn/klasse08/geometriI.php
http://bs.wikipedia.org/wiki/Kvadrat

Et kvadrat er en geometrisk figur der alle fire sider like lange. Vinklene står vinkelrett på hverandre, dermed er vinkelsummen av alle kantene alltid 360 grader. Dette ser du illustrert på figuren under. Som du ser endrer ikke størrelsen på kvadratet noen av egenskapene.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License