Pascal-Fermat-korrespondansen

I 1654 stilte Antoine Gombaud (chevalier de Méré) to spørsmål til Blaise Pascal. Pascal drøftet spørsmålene med Pierre de Fermat, og denne brevvekslingen kaller vi "Pascal-Fermat-korrespondansen". Denne korrespondansen regnes av flere som en slags start på at matematikerne for alvor arbeidet med sannsynlighetsregning.

De to spørsmålene kan formuleres slik:

  • Stemmer det at sannsynligheten for å få minst én sekser på fire kast med en terning er over 50 prosent, men at sannsynligheten for minst én gang å få to seksere på tjuefire kast med to terninger er under 50 prosent?
  • Hvordan fordele innsatsen hvis et spill blir avbrutt før det avtalte antall omganger er spilt?

Undervisningsopplegg

I [1] gis det oppgaver med utgangspunkt i disse to problemene:

Oppgave 1

I 1654 stilte Antoine Gombaud (chevalier de Méré) to spørsmål om sannsynligheter til Blaise Pascal. Det første av dem var som følger:
de Méré hadde merket seg at når han veddet på å få minst en sekser på fire kast med en terning, ville han i lengden vinne. Hvis han derimot veddet på å få minst en dobbeltsekser på tjuefire kast med to terninger, så tapte han i lengden. De Mérés spørsmål til Pascal var om dette stemte – altså om

  • sannsynligheten for å få minst en sekser på fire kast med en terning er over 50%, mens
  • sannsynligheten for minst en gang å få to seksere på tjuefire kast med to terninger er under 50%

Vi skal i denne omgang konsentrere oss om den første av påstandene. Stemmer det at sannsynligheten for å få minst en sekser på fire kast med en terning er over 50%? Hvordan kan du prøve å finne ut av det?

Oppgave 2

Girolamo Cardano hadde tidligere, i Liber de Ludo Aleae (Boken om tilfeldighetsspill) fra ca. 1526, gitt en løsning på de Mérés første problem:

  • Siden sannsynligheten for å få en sekser på et kast er 1/6, vil du få en sekser hver 6. gang du kaster en terning. Altså må du ha 50 % sjanse for å få en sekser på tre forsøk.
  • Siden sannsynligheten for å få en dobbeltsekser på et kast med to terninger er 1/36, vil du få en dobbeltsekser hver 36. gang du kaster to terninger. Altså må du ha 50 % sjanse for å få en dobbeltsekser på 18 forsøk.

a) Er du enig i argumentasjonen? Er det noen deler av argumentasjonen som må utfylles eller justeres?

b) Prøv å finne ut mer om dette, f. eks. ved å gjøre en del forsøk med å kaste terninger, ved å sette inn andre tall i resonnementet og se om det da holder, eller ved å simulere i regneark.

Oppgave 3

de Mérés andre problem var som følger:
To personer spiller et spill som består av en rekke omganger, og i hver omgang har hver spiller like stor sjanse til å vinne. Vinneren er den som først har vunnet seks omganger. Men så ble spillet av en eller annen grunn stoppet når spiller A hadde vunnet fire omganger og spiller B hadde vunnet tre. Hvordan skal premien da fordeles?

a) Prøv først å finne en løsning på problemet. (Kanskje må du se på et litt enklere problem først for å komme i gang – tallene kan jo endres for å gjøre ting enklere.)

b) Sjekk deretter om din måte å løse problemet på gir fornuftige løsninger når du bruker andre tall i oppgaven (for eksempel hvis antall omganger de skal vinne er hundre eller bare to, hvis A har et stort eller lite forsprang…)

c) Luca Pacioli gikk også løs på dette problemet, i boka Summa, og problemet kalles derfor av og til ”Paciolis delingsproblem”. Pacioli løste problemet slik: siden A har vunnet fire omganger av de sju de har spilt, bør han få 4/7 av premien. Denne løsningen ble kritisert 60 år senere av Niccolo Tartaglia, som henviste til hva som da ville skje hvis spillet ble avbrutt etter bare et spill. Kan du forklare hva Tartaglia siktet til?

Oppgave 4

Som Tartaglia påpekte holder ikke argumentasjonen til Pacioli, for det ville bety at hvis A ledet 1-0 når spillet ble avbrutt, skulle A ha hele potten. Det ville jo gjøre A svært interessert i å avbryte spillet når han ledet 1-0… (og B ville føle seg snytt, for han ville jo ellers hatt en brukbar sjanse til å ta igjen As ledelse og stikke av med hele potten).
Tartaglia løste problemet slik: A leder med et poeng, som jo er en sjettedel av det antallet som trengs for å vinne. Derfor bør A få en sjettedel av B’s innsats, altså slik at A sitter igjen med 7/12 og B med 5/12 av premien.

a) Synes du dette var en rimelig løsning? Synes du det er rimelig at en ledelse på 1-0 og en ledelse på 5-4 skal behandles likt?

Tartaglia selv kommenterte at ”Løsningen på et slikt spørsmål er en vurderingssak mer enn en matematisk sak, så hvordan enn delingen skjer vil det være rom for å være uenig”.
Senere ble det enighet om at det man måtte se på, var hvor stor sjanse de ville hatt til å vinne hvis de hadde fortsatt.

b) Hvor stor sjanse har A til å vinne i spillet over (når stillingen er 4-3)? (Eller: hva er As forventningsverdi nå når stillingen er 4-3?) Husk at hver spiller har like stor sjanse til å vinne i hver enkelt omgang.
Her er noen av løsningene som ble foreslått:

Pascal argumenterte slik: Anta at stillingen var 5-4 og at premien er 64 kroner. Hvis A vinner den neste omgangen, har han vunnet, så han får alle de 64 kronene. Hvis B vinner omgangen, står de likt, så de kan like gjerne dele de 64 kronene med 32 kroner hver. Så A kan si til B: ”Jeg er sikker på å få 32 kroner selv om jeg taper dette spillet, og når det gjel¬der de andre 32 kronene skal kanskje jeg ha dem og kanskje du, sjansen er like stor for begge deler. La oss derfor dele de 32 kronene likt og gi meg også de 32 kronene som jeg er sikker på.” A skal altså ha 48 kroner og B 16 kroner.

Anta så at stillingen var 5-3. Enten vinner A den neste omgangen og skal ha alle 64 kro-nene, eller han taper, og har da rett til 48 kroner etter argumentet ovenfor. Derfor kan han få 56 kroner.
Anta så at stillingen var 4-3. Enten vinner A den neste omgangen og skal da ha 56 kroner etter argumentet over (siden stillingen da er 5-3), eller han taper, og stillingen er da 4-4 og de har rett på 32 kroner hver. Dermed bør A få 44 kroner.

• Pascal sendte denne løsningen til en annen matematiker, Pierre de Fermat. Vi har ikke Fermats svarbrev, men ut fra Pascals svar tilbake, kan vi rekonstruere Fermats løsning:
Fermat konstaterte at spillet nødvendigvis ville måtte slutte i løpet av fire spill til. Da kan vi rett og slett sette opp alle mulige forløp av disse fire spillene:

aaaa aaab aaba aabb
abaa abab abba abbb
baaa baab baba babb
bbaa bbab bbba bbbb

Av disse 16 mulighetene er det 11 hvor A vinner. Han har altså 11/16 sjanse til å vinne, og bør få 11/16 av premien. (Dette stemmer overens med Pascals resultat).

Denne måten å løse det på ble kritisert av flere matematikere, blant annet Roberval og d’Alembert. d’Alembert påpekte at tilfellene aaaa, aaab, aaba, aabb, abaa, abab, baaa, baab aldri vil inntreffe (i sin helhet), siden A da har vunnet før spillet er ferdig. De eneste reelle mulighetene er aa, aba, abba, abbb, baa, baba, babb, bbaa, bbab, bbb. Av disse vinner A i seks tilfeller, så hans sjanse er 6/10.

c) Hvilken løsning er du enig i?
Pascal ga i et senere brev til Fermat (24. august 1654) svar på denne kritikken. Det går jeg ikke inn på her.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License