Petersburgproblemet

Petersburgproblemet er en klassisk problemstilling fra sannsynlighetsregningen, først publisert i St. Petersburg av Daniel Bernoulli Formulert som en oppgave kan den se slik ut:

a) A kaster en mynt; hvis kron dukker opp på første kast får han en krone av B, hvis kron ikke dukker opp før på andre kast får han 2 kroner av B, hvis kron ikke dukker opp før på tredje kast, får han 4 kroner av B og så videre. Regn ut forventningsverdien til A.

b) Hvor mye bør altså A være villig til å betale for å få spille dette spillet? Ville du betalt det?
c) Hva blir verdien hvis vi antar at B kun har en begrenset sum han kan gi A – for eksempel 10.000 kroner?
d) Noe av problemet med oppgaven er nok at vi helst ikke vil betale veldig mange penger for å ha en ørliten sjanse til å vinne vanvittig mange penger. Noen (f. eks. Cramer) har prøvd å løse floken ved å si at for praktiske formål gjør det å vinne en million kroner samme nytten som å vinne ti millioner kroner – jeg blir ikke særlig lykkeligere av de siste ni millionene. Ser du hvorfor dette ”løser” floken?
e) Andre (f. eks. d'Alembert) har løst den samme floken ved å si at sannsynligheter mindre enn f. eks. 1/10000 kan vi like gjerne betrakte som 0. Ser du hvordan det kan ”løse” floken?
f) Atter andre (f. eks. Buffon) argumenterte med at det er grenser for hvor mange spill man har tid til i løpet av et liv – altså må man begrense antallet spill. Ser du hvordan dette ”løser” floken?
g) Hvorfor har så mange så flinke matematikere brukt så mye krefter på å ”bortforklare” resultatet i a), tror du?

Oppgaveformuleringen er fra Bjørn Smestads Historisk introduksjon til sannsynlighetsregning for lærerstudenter.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License