Pi

Pi ($\pi$) er definert som forholdet mellom omkrets og diameter i en sirkel.

Pi er også forholdet mellom arealet av en sirkel og kvadratet av sirkelens radius. At dette er den samme pi kan forklares geometrisk (se video).

Den nøyaktige verdien av pi har uendelig mange desimaler. Disse desimalene er ikke-sykliske og derfor er pi et irrasjonelt tall. Pi er og også et transcendalt tall. Den mest nøyaktige beregningen av pi så langt ga oss 5 billioner sifre (3 etterfulgt av 5 billioner (4 999 999 999 999) desimaler. I dagligdagse regninger der en skal bruke pi, er det vanlig å definere pi som 3,14. Dette gjør man nok for enkelthetens skyld. Det er også mulig å sette opp brøken 22/7 som en rimelig tilnærming til pi.

Matematiske oppgaver som å regne ut omkrets og areal av sirkler eller ellipser er sentralt i sammenheng med pi. Pi brukes også når man skal regne ut volum og overflate av tredimensjonale figurer slik som kjegler, sylindre og kuler. Et annet felt innenfor matematikken der man arbeider med bruk av pi er trigonometrien.

Pi har blitt beregnet på ulikt vis opp gjennom tidene. En tabell med mer informasjon kan du finne ved å følge linken: http://no.wikipedia.org/wiki/Pi

Visste du at

- Den matematiske formelen til en pizza med tykkelse a og radius z er: pi z z a ?
- Verdensrekorden i huske antall desimaler i pi er på 67890 desimaler?
- At pi har bursdag 14. mars og at grunnen til det er fordi man i USA skriver datoen slik: 3/14?
- På norsk side om pi: http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.no/ kan du øve deg på å huske antall desimaler i pi?
- På norsk side om pi kan du også søke på for eksempel datoen du har bursdag, giftet deg, fikk barn eller liknende og sjekke om tallene eksisterer i pi?

Her er et undervisningsopplegg som passer for elever på barneskolen, og som omhandler pi:

Hva: Undervisning om tallet pi (3,14).

Mål for timene er at elevene kan finne omkrets og diameter ved hjelp av pi. Timens mål skrives opp på tavlen.

Hvordan:
• Lærer leser historien ”Evigheten i en tallerken” i matematikkboken ”Tallenes verden” av Eirik Waths. Deretter følge opp en samtale i klasserommet rundt handlingen i boka.
• Sette elevene i aktivitet: be de måle diameter med linjal og omkrets ved hjelp av en taustump av en medbrakt tallerken. Be de dele omkretsdiameter, og skrive svare sitt på tavlen.
• Felles gjennomgang: sammenligne svarene og finne ut hvilke tall som er pi.
• Lærer forklarer hvorfor pi er 3,14. Ber alle elvene klippe opp trådstumpen sin så mange ganger som mulig i diameteren sin lengde (3). Da vil de sitte igjen med en liten stump (0,14). Dvs at diameteren går tre ganger i 3,14 i omkretsen på sirkelen, og at hvis du deler omkretsen på 3,14 så får du diameteren.
• Elevene får utdelt oppgaver (to forskjellige typer):
1. Elevene skal finne diameter ved hjelp av pi (x:3,14)
2. Elevene skal finne omkrets ved å gange diameter med på (x  3,14)
Oppgaven elevene får utdelt er i både tekstoppgaver og oppgaver hvor elevene må måle opp selv.
• Lese opp en ny matematikkhistorie fra ”Tallenes verden”.
• Oppsummere av hva elvene har gjort i timen og husker. Finne ut om elevene har forstått sammenhengen mellom pi, diameter og omkrets.
• Tilslutt ettervurdering: be elevene finne diameteren av en sirkel der omkretsen er oppgitt, be de skrive svaret på en lapp som de skal gi til læreren. På forhånd har læreren skrevet opp et skjema som har ruter for rett og galt. Setter en strek i hver rute etter hvert som man får tilbake lappen med svar på fra elevene. Deretter oppsummere ut i fra resultatet om klassen har forstått pi, eller om de må jobbe mer med det.

Hvorfor:

Pi kan være vanskelig for elever å forstå, fordi det er et så abstrakt begrep i matematikken. Vi velger å lese opp historier fra ”Tallenes verden” fordi det er en mer forståelig måte å tilnærme seg elevene på. Vi velger så å snakke om historien og spørre elevene om hva de fikk vite. Deretter skriver vi opp målet for timen på tavlen slik at elevene blir bevist på hva de skal lære.

Vi setter elevene i aktivitet, hvor de skal finne lengden av diameteren og omkretsen ved hjelp av taustump og linjal, og ber de dele omkrets på diameter. Det er lurt at elevene får jobbe med konkreter slik at de får nærere relasjoner til begrepet pi. Fordi læreren vet at pi er 3,14 ber vi alle elevene skrive opp svaret sitt på tavlen slik at elevene kan se at alle får ca samme svar uavhengig av størrelse på tallerken.

Prater om svare elevene fikk, sammenligne og informere at pi er 3,14 og at det er et forhold mellom to lengder, nemlig diameter og omkrets. Først be de klippe taustumpen som de målet omkretsen med i så mange diameterlengder som mulig, som vil være 3. Da vil de sitte igjen med en lite taustump som vil representere 0,14 delen av 3,14. Fortelle de at diameter passer 3,14 ganger inn i omkretsen av tallerkenen.

Etter vil vi lese opp en ny historie fra ”Tallenes verden” for å gi de et annet syn på pi, slik at de får en bredere forståelse.

Reflektere over hva de har lært i timen for å finne ut på hvor nivået ligger på de i klassen på forståelsen av pi, diameter og omkrets.

Ettervurdering gjøres for lærerens egen del, for å finne ut hvor kvaliteten på undervisningen. Det gjøres også for at eleven skal kunne se hvor mange som har lært/ikke lært pi.

Historie

Matematikere har gjennom mange hundre år prøvd å finne ut mer og mer om dette forholdet.
I Rhindpapyrusen oppga man at arealet av en sirkel med diameter 9 cubits, vil være den samme som arealet av et kvadrat med sidekant 8 cubits. Vi vet ikke hvordan de hadde kommet fram til dette, men en mulighet kan være at de bare plasserte sirkelen i et rutenett og telte ruter. Slike framgangsmåter for å komme fram til omtrentlige arealformler kan egne seg også i grunnskolen.

I Babylon brukte man 3 1/8. Hvordan kan man ha kommet fram til tallet 3 1/8 (=25/8)? Vel, det er mange måter, men jeg kan skissere en mulighet (som naturligvis kan repeteres i klasserommet): Tegn en stor sirkel. Lag ei snor som er like lang som diameteren i denne sirkelen. Mål rundt sirkelen med denne ”diametersnora”: du ser at den går tre ganger, men at du enda ikke har kommet helt rundt. Se om halve diameteren går (ganske enkelt ved å brette snora en gang). Det går ikke. Da kan vi prøve om en fjerdedel av diameteren går (ved å brette snora dobbelt en gang til). Nei, det blir også for langt. Så da prøver vi å brette snora dobbelt nok en gang. Det går! Altså er omkretsen drøyt 3 1/8 = 25/8 diametre. Dette er også noe man kan gjøre i klasserommet. Kanskje noen også klarer å dele biten på 7 og se at det gir mindre feil?

Arkimedes brukte en omskreven og en innskreven regulær 96-kant til å finne ut at $3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}$. (se animasjon av dette.)

Selv om matematikere lenge arbeidet med disse forholdene, var det først i 1706 at man (William Jones) begynte å bruke bokstaven $\pi$ for dette tallet.

At pi er et irrasjonalt tall ble først bevist av Johan Heinrich Lambert i 1766.

Det finnes huskeregler for å huske de første sifrene av pi. Et eksempel: "How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics".

Undervisningsopplegg

Pi
Sirkelen og pi

Undervisningsopplegg for hvordan elevene kan forstå pi

Elever generelt synes det er vanskelig å forstå forholdet mellomomkretsen og diameteren i en sirkel. For at elevene skal skjønne at omkrets = pi x diameter, kan man bruke konkreter. I dette tilfelle ville jeg brukt et sykkelhjul, hvor elevene skal ut med målebånd og måle omkrets, finne ut hva som ligger i begrepet pi, og diameter. Ved å finne ut diameter av sykkelhjulet, kan du alltid legge diameteren 3, 14 ganger rundt sykkelhjulet, pi=3,14.

Er du interessert å lese og lære mer om pi kan du sjekke ut disse hjemmesidene:

- http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.no/ (Norsk side om pi)

- http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html

- http://no.wikipedia.org/wiki/Pi (Wikipedia)

- http://oslomamma.blogspot.no/2015/03/den-internasjonale-pi-dagen-som-bursdag.html (fødselsdagsfest med Pi som tema)

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License