Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum (reduksjon til det absurde) er en bevismetode som er nyttig i matematikken.

Hvis man skal bevise påstanden P, går metoden ut på å gå ut fra at P er gal. Hvis man da klarer å bevise at dette fører til noe meningsløst, har man samtidig bevist at P må være sann.

Eksempel

Et eksempel som finnes hos Euklid er påstanden om at $\sqrt{2}$ er et irrasjonalt tall.

For å bruke reductio ad absurdum-metoden, antar vi altså det motsatte: vi antar at $\sqrt{2}$ er et rasjonalt tall. Det vil si at vi kan skrive $\sqrt{2}$ som en brøk $\frac{t}{n}$ som er fullstendig forkortet.

Dette innebærer at $t = n * \sqrt{2}$. Dermed må $t^2 = n^2 * 2$.
Altså er t et partall (og n er da et oddetall, siden brøken var ferdig forkortet). Vi kan skrive t som 2r for et passende valg av r ($r=n^2$).

Vi får da at $4r^2 = 2n^2$, så $2r^2 = n^2$.

Altså er n et partall. Vi har da vist at dersom $\sqrt{2}$ er et rasjonalt tall, vil vi kunne konstruere et tall n som både er et oddetall og partall. Dette er absurd, og derfor kan ikke $\sqrt{2}$ være et rasjonalt tall

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License