Regula falsi

Regula falsi er en metode for å løse lineære likninger som har vært kjent lenge. Den går ut på å "gjette" på et tall, og deretter justere løsningen.

Eksempel

Du skal løse likningen 5x - 15 = 2x - 3

Første skritt er å sette inn et par løsninger for x:
$x_1 = 1$ Da blir venstre side -10 og høyre side -1. Forskjellen på de to sidene er -9.
$x_2 = 10$ Da blir venstre side 35 og høyre side 17. Forskjellen på de to sidene er 18.

Andre skritt er å multiplisere den første x-verdien med den tilhørende sideforskjellen, multiplisere den andre x-verdien med den tilhørende sideforskjellen, og subtrahere disse. Til slutt må man dividere dette på differansen mellom sideforskjellene. Her blir dette altså:

(1)
\begin{align} \frac{10*(-9)-1*(18)}{18-(-9)}=\frac{108}{27}=4 \end{align}

Historisk

En av kildene våre til matematikken i det gamle Egypt er den såkalte “Rhindpapyrusen” fra ca. –1650. Som så ofte i matematikkhistorien, sier navnet lite om opprinnelsen – Rhind var en skotte som kjøpte papyrusen i 1858.

Blant annet var det en del likningsløsning i Rhindpapyrusen. Her er et eksempel:

En mengde av noe og dens fjerdedel utgjør 15.
Regn med 4. Derav må du ta fjerdedelen, til sammen 5.
5 er for lite, det vi må ta tre ganger 5. Derfor er svaret 12.

Denne metoden for likningsløsning ble brukt i flere tusen år, og kaltes i middelalderen ”regula falsi”. I moderne notasjon kan vi skrive det slik: Vi vil løse likningen $x + \frac{1}{4}x = 15$ . Vi prøver $x=4$ (fordi det er lett å regne ut resultatet da), og får $4 + \frac{1}{4}4 = 5$. Men dette er jo langt mindre enn det vi ville ha – vi ville jo ha 15. Altså må jeg multiplisere utgangspunktet med 3. Svaret blir 12.

Her er et eksempel til fra Rhindpapyrusen: "En størrelse og dens 1/7 gir til sammen 19. Hva er størrelsen?" Hvis man prøver 7, får man at resultatet blir 8. Men resultatet skulle jo vært 19, så man må øke 7 med det vi vil skrive som 19/8. Egypterne fant da svaret 16 + 1/2 + 1/8 (uten å bruke akkurat den formelen som er brukt i forrige eksempel). [1]

Oppgave: Løs denne oppgaven ved hjelp av regula falsi: ”En mengde av noe og dens sjettedel utgjør 21.”

Litteratur

Kirfel, Christoph: Regula falsi, et gammelt triks for å løse likninger, Tangenten 4/1997 og 1/1998 og Tangenten - en inspirasjonsbok

Bibliography
1. Onstad, Torgeir: Likningenes historie – fra Babel til Abel, NKS fjernundervisning, 1993. Bibsys
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License