Sirkel

sirkel – fra latin circus ”sirkel”

Definisjonen på sirkelen er:
“En samling punkter som ligger like langt fra et gitt punkt, sirkelens sentrum.”

Breiteig og Venheim (matematikk for lærere 1) skriver at sirkelen er perfekt eller fullkommen. De forteller også at sirkelen har tiltrukket seg interesse fra både filosofer, astronomer og matematikere. Elever vil også ha glede av å studere sirkelen.

circle_radius.gif

Avstanden fra et vilkårlig sted på sirkelbuen til dens sentrum kalles radius. Avstanden fra sirkelbue til sirkelbue, gjennom sentrum, kalles diameter.

bilde640320.jpg

Sirkler er tilsynelatende ganske lett forståelige, men man bør være oppmerksom på at elevene kanskje bare oppfatter formen, og ikke har så lett for å se egenskapene (jf. van Hieles teorier).

En sirkel deler planet i to områder, akkurat som alle mangekanter gjør det: en indre sirkelflate og et ytre område. Noen ganger mener vi sirkelflaten når vi sier sirkel. For eksempel er det helt vanlig å snakke om arealet til en sirkel. Selve kurven som danner sirkelen, kalles da periferien. For å finne ut av sirkelens mål må man kunne finne radius og diameter. For å kunne finne radius og diameter må man vite at sirkelens sentrum er midtpunktet i sirkelen.

Det er noen viktige begreper som brukes i forbindelse med sirkler:

a Et linjestykke fra sentrum til et punkt på en sirkel kalles en radius.
b To radier sammen med sirkelbuen mellom dem, begrenser en sektor.
c Ei linje som skjærer sirkelen i to punkter, kalles en sekant.
d En korde er et linjestykke mellom to punkter på sirkelen. En korde som går gjennom sentrum, er en diameter.
e Ei linje som bare berører sirkelen i ett punkt, kalles en tangent til sirkelen.

Sirkelens egenskaper

Sirkelen har en rekke egenskaper som gjør at den er egnet som form på mange ulike gjenstander til ulikt bruk:

1. Sirkelen har ingen hjørner

  • Derfor sitter man ofte i sirkel – slik ser alle hverandre (og alle kan få like god plass)
  • Derfor er kopper ofte runde – hjørner og rette kanter ville vært vanskeligere å drikke av
  • Derfor er hjulet rundt, med hjørner ville det blitt vanskelig å rulle
  • Derfor er mynter runde, for da lager de ikke hull i lommene.

2. Sirkelen kan roteres på alle mulige måter uten at det gjør noen forskjell.

  • Dette gjør det blant annet mulig å skru lokket på termosen.

3. Sirkelen gir mest areal for pengene

  • Et pølseskinn som stappes fullt vil automatisk gi en rund pølse. På denne måten er det plass til mest inni.

4. Sirkelen har konstant bredde

  • Derfor er de fleste kumlokk runde – slik har ikke lokket mulighet til å falle ned i kummen.

5. Sirkelen er veldig rotasjonssymmetrisk
Det vil si at den kan dreies med alle mulige vinkler uten at det gjør noen forskjell som for eksempel med å skru et lokk på et glass.

Sirkelen har også en ”hemmelighet”: hvis man deler lengden av omkretsen av en sirkel på lengden av diameteren får man alltid det samme tallet, uansett hvor stor eller liten sirkelen er. Tallet kalles pi og er tilnærmet lik 3,14. Tallet er altså forholdet mellom omkrets og diameter i en sirkel.

Pi står altså for antall ganger diametere man kan legge på sirkelbuen for å komme helt rundt. Tallet som pi står for er rundet ned til 3,14, dette fordi det egentlige tallet har uendelig mange, man har regnet ut over to billioner desimaler.

Lenker til relevante sider:

Areal av sirkel
Pi
Korde

Omkrets

Kriteriene for en sirkel er at det er like lang radius fra alle steder på sirkelbuen og inn til sentrum. Om ikke disse kriteriene oppfylles, så vil det være en annen form for runding.
Hvis vi vil finne omkretsen til en sirkel så bruker vi formelen O=2*pi*r. Dette kommer av det vi allerede har forklart ved pi. 2*r er lik diameteren, og diameteren lagt på sirkelbuen 3,14 (pi) ganger vil gi oss omkretsen.

Areal

Hvis det er arealet vi vil finne, så bruker vi formelen A=pi*r2.
Grunnen til at vi bruker denne formelen kan vi se på bildet under. Vi deler opp sirkelen i små deler, og jo mindre delene er, jo mer nøyaktig blir målet. Om vi plasserer alle delene ved siden av hverandre, som vist på bildet, så får man et tilnærmet rektangel. Siden formelen for å finne arealet på et rektangel er A=l*b, så kan vi derfor bruke denne siden vi nå har laget et tilnærmet rektangel. Vi kan se at bredden på figuren vår nå vil tilsvare r, og lengden vil tilsvare omkretsen delt på to, altså 2*pi*r/2=pi*r.

CircleArea.svg?format=jpg

Forslag til undervisningsopplegg:

- En introduksjon til temaet kan være en samtale/diskusjon om hvorfor ulike ting er runde. Slik vil elevene kanskje på egenhånd se noen av sirkelens egenskaper. Hvilke egenskaper har sirkelen som gjør den egnet som fasong på kopper, grytelokk, kumlokk osv. Ta en titt rundt i klasserommet. Hvilke runde gjenstander finnes der?

- En mulig liten aktivitet er å få elevene til å tegne opp et punkt, og deretter tegne to punkter som ligger 3 cm sirkel – fra det første. Deretter to punkter til… Etter hvert vil nok elevene oppdage at det er en ”sirkel" de tegner…

- Det er mange måter å bruke sirkler på i undervisningen. Man kan først tegne en sirkel på tavle/smartboard og også ha eksempel en sirkel utklippet i papp. Slik treffer man flere elever, med tanke på at noen trenger noe konkret for at kunnskapen skal sitte bedre. Hva er en sirkel? Hvordan ser en sirkel ut? Finnes det ulike sirkler? Dette er spørsmål man kan stille elevene. På denne måten vil elevene måtte reflektere over det de vet og samtale om dette.

Opplegg til undervisning kommer an på hvilke områder ved sirkler man skal lære bort. Vi har tanker rundt emnene radius og diameter. Ved gjennomgang av disse begrepene kan læreren bruke en sirkel laget av papir. Ved å brette denne i to, vil man få begrepet diameter. Ved å brette sirkelen på tvers av diameteren, vil man få radiusen. Dette vil gi elevene noe konkret. Man kan også lage en stor sirkel av teip på gulvet, hvor elevene må legge seg som en strek over hele sirkelen (diameter) eller fra midten og ut (radius). Elevene må i dette eksempelet reflektere og bruke kunnskapen sin etter hva læreren ber dem om å være. Etter dette er det mulig å gi elevene oppgaver om å måle begrepene i ulike sirkler.

- En måte å arbeide med sirkel på kan være at man spiller et ringspill med elevene. Man har et punkt i midten som er en pinne elevene skal prøve å treffe ringene med, og elevene skal plassere seg så langt unna de vil, men det må være rettferdig så alle skal ha like stor avstand. Da vil elevene danne en sirkelbue med pinnen som sentrum. Dette kan få elevene til å skjønne at det er like stor avstand fra sirkelens midtpunkt til sirkelbuen uansett hvor man setter punktet (eller står).

En annen måte å arbeide med sirkelen kan være at man lar elevene være ”levende passere”. Hvis man først eksperimenterer med å lage sirkler uten noen hjelpemidler vil de se at det ikke er så lett å få nøyaktige mål så det blir en god sirkel. Hvis en elev steller seg i et punkt og får holde i den ene enden av et tau, mens en annen holder (stramt) i den andre enden med et kritt, kan de sammen lage en sirkel ved at de begge går langsomt rundt. Her kan man markere sentrum, radius og diameter. Da får elevene tydelig se radien mens sirkelen tegnes, og de får erfare at tauet må holdes stramt (det må være lik avstand fra sentrum) og den som står som sentrum ikke kan flytte seg for at det skal bli en fin sirkel. De kan også finne ut at diameteren er den lengste strekningen tvers over sirkelen og at det er like mye som det dobbelte av radiusen. En enkel versjon av dette er hvis elevene står på et punkt og bruker foten til å lage en sirkel mens de roterer rundt seg selv.

Man kan også bruke papirbretting til å demonstrere sirkelens matematiske egenskaper. Det gjøres ved at man lager sirkler med passer på papir og klipper dem ut. Så bretter man dem på midten slik at det blir en halvsirkel. Da ser man tydelig diameteren. Hvis man bretter en gang til får man en kvartsirkel og da kommer radiusen fram på de rette sidene. Bretter man sirkelen ut igjen kommer sentrum i sirkelen til syne som skjæringspunktet mellom de to brettekantene som tilsvarer diameteren. Dette er fin måte å vise elevene sentrum, radius og diameter og det at de gjør det praktisk i stedet få å bare lese av det i en bok gjør det lettere for dem å huske og forstå det.

Hvis man skal jobbe med arealet av en sirkel på skolen så er det viktig at man bruker konkreter. Dette for å følge undervisningstrappen som starter med det konkrete, går videre til det halvkonkrete og ender i det abstrakte. Et barn vil mye lettere forstå når han/hun fysisk har en sirkelformet figur foran seg. Når vi skal forklare arealet så har vi allerede gått gjennom generelt om en sirkel og omkrets, siden dette er kunnskaper de må inneha for å lettere kunne forstå hvordan man jobber med areal.

Når man da skal jobbe med areal, så kan det være lurt å ha konkreter i form av en sirkel delt i veldig små stykker. Man må også ta utgangspunkt i at elevene har lært om arealet av et rektangel. Ved at elevene selv kan også sitte og jobbe med konkretene så får de selv fysisk erfare at delene kan settes sammen til et tilnærmet rektangel.

Andre lenker:
http://moava.org/index.php?pageID=9&categoryID=434

- “Kumlokk, sirkelen og Reuleauxpolygoner”, et opplegg fra matematikk.org:
http://www.matematikk.org/uopplegg/vis.html?tid=66146&modus=elev

- Sirkelen og pi
- Sirkelens geometri
- Sirkelens omkrets og areal

Matematikk for lærere 6.3 tar for seg de mest sentrale ordene knyttet til sirkelbegrepet, tallet pi ($\pi$) og forholdet mellom mangekanter og sirkler, mens Matematikk for lærere 13.4 tar for seg Arkimedes' beregninger om sirkelen (litt om dette også i Matematiske sammenhenger Geometri 3.8 og Matematikk for allmennlærerutdanningen 1 2.2).
Litt om $\pi$ også i Matematikk for allmennlærerutdanningensirkelen 1 3.1.

Lenker til andre nettsteder:
1. http://www.youtube.com/watch?v=6zQvrjN7TtQ (radius and diameter)
2. http://matte.hiof.no/vrekka/geometri/sirkel/p-sirkel.html
3. http://www.formel.dk/matematik/geometri/geometri.htm
4. http://matematikk.org/_voksne/artikkel/vis.html?tid=69097&within_tid=68986
5. Å finne omkretsen til en sirkel: http://www.youtube.com/watch?v=uhGL9mjzC18&feature=related

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License