Stambrøker

Stambrøker er brøker med teller 1. Altså er $\frac{1}{3}$ eksempel på en stambrøk.

I Egypt jobbet man i en periode hovedsakelig med stambrøker, ikke andre brøker, med unntak av et eget tegn for 2/3. Egypterne skrev stambrøkene ved å skrive nevneren og så tegnet for munn over. (Tegnet for munn signaliserer å dele opp noe.) Nedenfor brukes moderne notasjon.

De foretrakk å bruke ulike stambrøker, for eksempel skrev de tre fordelt på fire som 1/2 + 1/4.

Oppgave: Hvordan skrev de 3/5 som sum av to ulike stambrøker?

Jo, de skrev nok 3/5 som 1/2 + 1/10.

Kan dette ha noen praktiske fordeler, eller skyldes det kun at de ikke hadde noen måte å skrive tallet 3/5 på? Vel, man kan tenke seg flere måter å fordele tre enheter på fem personer på. Den ene er å dele hver enhet i fem, og gi tre slike biter til hver. Den andre måten fører til at man kan gjøre unna det meste av utdelingen ved å dele alle enhetene i to, og hver kan få en halv enhet. Dermed kommer alle fort i gang med å spise, og kanskje like viktig: det er mye enklere å dele nøyaktig i to enn å dele nøyaktig i fem like store biter. Til slutt må man riktignok dele den siste halve i fem biter, men det er langt mindre viktig at det blir helt nøyaktig.

Den indiske matematikeren Mahavira utviklet i Ganitasarasangraha en metode for å skrive enhver brøk som sum av stambrøker: "Når nevneren (i en gitt brøk) blir kombinert med et vilkårlig tall og dividert med nevneren slik at det ikke blir noen rest, blir (den) nevner til den første telleren. Det vilkårlige tallet dividert med dette og med nevneren i den gitte brøken, er det gjenstående tallet som må behandles videre på samme måte, hvis det er behov for det."[1] Med symboler ville vi skrevet dette slik: Hvis brøken er $p/q$: finn en $x$ slik at $q+x$ er delelig med $p$. Hvis vi så kaller $r = \frac{q+x}{p}$ vil

(1)
\begin{align} \frac{p}{q} = \frac{1}{r} + \frac{x}{r \cdot q} \end{align}

Eksempel fra Mahavira: $\frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \frac{2}{21} = \frac{1}{3} + \frac{1}{11} + \frac{1}{231}$

Undervisningsopplegg

Egyptiske stambrøker'

Oppgaver

Her er noen oppgaver som kan brukes for eksempel på ungdomsskolen for å arbeide med brøk i en litt uvant sammenheng:

De gamle grekere brukte av en eller annen grunn ikke brøker helt på samme måte som vi gjør. De brukte bare brøker med 1 i teller (i tillegg til brøken 2/3). Når de skulle skrive "en tredel" skrev de tallet tre med en ring over.

Vi skal imidlertid bruke vår egen skrivemåte her. Brøker hvor telleren er 1 kaller vi stambrøker.
Hvis vi deler to brød på fem personer, vil jo vi si at hver får $\frac{2}{5}$ brød. Egypterne kunne jo da ha skrevet at hver fikk brød, men egypterne likte ikke å gjenta den samme stambrøken. De ville da isteden skrive som summen av to forskjellige stambrøker.

Oppgave 1
Skriv $\frac{2}{5}$ som summen av to forskjellige stambrøker!
(Hint: Tenk deg at du har to brød som skal deles på fem stykker. Hvor mange må du dele opp hvert brød i for at alle skal få minst en del hver? Og hva kan du gjøre med resten? Det er smart å tegne dette opp.)

Når du har klart å skrive $\frac{2}{5}$ som summen av to stambrøker, er det fint om du regner sammen de to stambrøkene igjen for å kontrollere at du får .

Oppgave 2
Bruk tegning som i oppgave 1 til å finne ut hvordan følgende brøker kan skrives som summen av to forskjellige stambrøker. Kontroller for hver av oppgavene ved å legge sammen de to stambrøkene du finner.
a) $\frac{2}{3}$
b) $\frac{2}{7}$
c) $\frac{2}{9}$
d) $\frac{2}{11}$
e) Ser du noe mønster i det du har gjort så langt? Kan du beskrive dette mønsteret med ord?
f) Alle oddetall kan skrives som 2n+1 der n er et heltall. Man kan da lage en formel for å skrive $\frac{2}{2n+1}$ som sum av to stambrøker slik: $\frac{2}{2n+1} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(2n+1)(n+1)}$ . Sjekk hva slags svar denne formelen gir i a-d.
g) (vanskelig) Kan du vise at formelen i f) stemmer?

Oppgave 3
Prøv å skrive stambrøken $\frac{1}{4}$ som en sum av to andre stambrøker. Kan du bestandig skrive en stambrøk $\frac{1}{n}$ som en sum av to andre stambrøker?

Oppgave 4
Av og til vil summen av to stambrøker selv være en stambrøk. Undersøk følgende tilfeller:
a) $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
b) $\frac{1}{4} + \frac{1}{12}$
c) $\frac{1}{5} + \frac{1}{20}$
d) $\frac{1}{6} + \frac{1}{30}$
e) Hvilke eksempler er det jeg har valgt ut her? Er det noe mønster i dem? Kan du beskrive med ord hva slags tall jeg har valgt – og hva summen blir?
f) Kan du skrive en formel som viser sammenhengen i e)?

Bibliography
1. Gupta, R. C.: Historisk brøkregning i klassen, Tangenten 3&4, 1993.
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License