Tallsystem

På ulike steder rundt i verden har de store kulturene utviklet egne tallsystemer - altså måter å skriftfeste tall på. Det finnes mange måter å lage et tallsystem på, og ved å bli kjent med ulike tallsystemer, ser vi bedre hva som er særtrekkene ved "vårt" eget tallsystem, det hindu-arabiske tallsystemet. Et viktig skille er skillet mellom rent additive systemer og posisjonssystemer.

Én-til-én-tallsystemer

Det første man gjør for å skriftfeste et tall, er sannsynligvis å tegne en strek for hvert element i mengden man skal telle - altså for eksempel en strek for hver sau. Dette vil fort bli mange streker, naturligvis, så det er ganske upraktisk. Det er dessuten tvilsomt om det i det hele tatt kan kalles et tallsystem. Men vi tar det med her, siden det er et første stadium på veien til additive tallsystemer.

Additive tallsystemer

Hvis man har gått lei av å tegne en strek for hvert element, kan man begynne å erstatte grupper av streker med andre symboler. For eksempel kunne man bestemme at ti streker skal erstattes av en +. Tilsvarende kunne ti +'er erstattes av en *. Da ville ***++|||| kunne leses av oss som 324. Det samme kunne for øvrig også ++||||***. Vi ser at vi i dette eksempel-tallsystemet trenger egne symboler for 1, 10, 100 og (etter hvert som saueflokken vokser eller vi trenger tall til andre ting også) 1000, 10000 osv.

Et eksempel på et "rent" additivt tallsystem er egyptisk tallsystem. Det tidlige greske tallsystem var også additivt.

Posisjonssystemer

Vi så i eksemplene over at rekkefølgen på symbolene forsåvidt ikke betyr noe i et additivt tallsystem - i motsetning til i "vårt" tallsystem (som er et posisjonssystem). Prinsippet for et posisjonssystem er det vi alle har lært på skolen: vi har et visst antall symboler som står for "små" tall (i vårt system: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 og 9) og posisjonen de står på avgjør verdien. For eksempel skriver vi "trehundreogtjuefire" som 324, hvor 3-tallet slett ikke har mindre verdi enn 4, til tross for at 3 er mindre enn 4. Symbolet for null spiller en spesiell rolle i et posisjonssystem, mens det i et additivt system er unødvendig.

"Vårt" tallsystem (det hindu-arabiske tallsystemet) er et titallsystem, men andre heltall kan også brukes som base. Se for eksempel binært tallsystem og femtallsystemet. Se også epsilon s. 84-92.

Historisk var overgangen fra romertall til det hindu-arabiske tallsystemet vanskelig, og det ble skrevet læreboktekster for å forklare de nye tallene. Både Liber abaci og Hauksbok var slike bøker. I 1259 ble bankierne i Firenze forbudt å bruke disse vantro tegnene[2], mens universitetet i Padua i 1348 ga ordre om at prislistene på universitetsbøker måtte skrives med "kristelige" tegn (altså romertall).[1]

Pierre-Simon Laplace skrev dette om titallsystemet: "Det var India som skjenket oss den geniale metode å skrive alle tall med ti symboler, idet hvert symbol får en verdi etter sin plassering i rekken foruten sin egenverdi; det er en dyp og inngripende idé, som nå forekommer oss så uhyre enkel at vi overser hvor beundringsverdig den i virkeligheten er. Men nettopp selve enkeltheten og den lettelse den betyr under alle beregninger, setter den i første rekke blant nyttige oppfinnelser, og denne ytelse er desto mer imponerende når vi husker at tanken ikke dukket opp selv hos genier som Arkimedes og Apollonius, to av de største menn antikken frembragte." [2]

Blandinger

Det finnes også interessante eksempler på blandinger av disse to tallsystemene, for eksempel mayaenes tallsystem.

Andre systemer

Romertall kan se ut som et rent additivt system, men det har visse "forkortningsregler" som gjør at det likevel ikke er det. I romertallsystemet er jo I = 1 og V = 5, men IV og VI betyr forskjellige ting (hhv. 4 og 6).

Undervisningsopplegg

Undervisningsopplegg for posisjonssystemet
100-huset
Addisjon og plassverdisystem
Babylonsk tallsystem
Bomben
Egyptisk tallsystem
Først til 100
Penger
Tallsystem
Verdens flotteste oppfinnelse

Videoer

Skole i praksis: Posisjonssystemet
Skole i praksis: Posisjonssystemet med kort

Bibliography
1. Brun, Viggo: Alt er tall, Universitetsforlaget 1964.
2. Lancelot Hogben: Matematikk for millioner, Gyldendal 1937.
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License