Teoretisk sannsynlighetsmodell

Den ”teoretiske sannsynlighetsmodell” kalles også ”geometrisk sannsynlighetsmodell” eller ”symmetrisk sannsynlighetsmodell”.

Kaster vi en tegnestift i lufta, er det vanskelig å si særlig nøyaktig hva sannsynligheten er for at den vil lande med spissen ned mot bordplata. Kaster vi en mynt i lufta, derimot, vil vi si at sannsynligheten for at den vil lande som ”kron” er ca. en halv. Bakgrunnen for at vi sier det, er at mynten er symmetrisk, det er derfor ingen ting som tilsier at den ene sida skal ha større sjanse til å lande opp enn den andre. Det samme argumentet gjelder når vi kaster terning – det er ingenting som skulle tilsi at en av sidene har større sjanse for å lande opp enn en annen, derfor antar vi at alle sidene har lik sjanse. (En terning hvor det faktisk er like stor sjanse for alle sidene, kaller vi en ”rettferdig” terning.)

I en teoretisk sannsynlighetsmodell ser vi for oss en liste med alle mulige utfall i forsøket. Det er ikke bestandig at vi kan skrive opp alle mulighetene (for eksempel tar det for lang tid å skrive opp alle mulige Lotto-rekker), men i noen tilfeller kan vi det. I eksemplet med et myntkast ovenfor, har vi bare to utfall: kron og mynt. Vi skriver det som en mengde: {kron, mynt}. Dette kaller vi utfallsrommet. Og som nevnt; siden vi kan argumentere for at disse er de eneste mulige utfallene, og at de er like sannsynlige, må hvert av dem ha sannsynlighet 50 %.

For ordens skyld: Utfallsrom er et så sentralt begrep at det har fått sitt eget punkt i Kunnskapsløftet: "beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal” (10. årstrinn).

Kaster vi to mynter, har vi følgende utfallsrom: {to kron, en av hver, to mynt}. Eller vi kan ha et litt annet utfallsrom: {to kron, kron på den ene og mynt på den andre, mynt på den ene og kron på den andre, to mynt}. Hvilket er mest nyttig?

Det viser seg at det mest nyttige er å bruke et utfallsrom som er uniformt. Det vil si at alle utfallene har samme sannsynlighet. For da kan vi finne sannsynligheten for alle hendelser ved å telle antallet utfall som er interessante og dele på antallet utfall ialt. I dette tilfellet er det det andre av utfallene som er uniformt.

Når vi har et uniformt utfallsrom, kan vi bruke følgende regel: "Regel: Når vi har et uniformt utfallsrom, og vil finne sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe, teller vi antallet utfall som gir hendelsen og deler på antallet mulige utfall i alt. Ofte skriver vi dette slik: sannsynligheten er antall gunstige delt på antall mulige."

Denne måten å se på sannsynlighet, er betraktelig nyere – som nevnt var det først på 1600-tallet at dette for alvor ble en vanlig tenkemåte. Og først i 1933 kom en aksiomatisering av sannsynlighetsregningen, det vil si en passende samling grunnsetninger (aksiomer) som kunne danne grunnlaget for alle andre setninger om sannsynlighetsregning. Det var den russiske matematikeren Andrey Nikolayevich Kolmogorov som kom fram til disse. Dette er på en måte oppsiktsvekkende – geometrien hadde jo fått sine ”aksiomer” allerede på (eller snarere før) Euklids tid.

At dette var en mangel med sannsynlighetsregningen, var matematikerne klar over. David Hilbert holdt i 1900 et berømt foredrag, hvor han nevnte 23 viktige uløste problemer i matematikken. Aksiomatiseringen av sannsynlighetsregningen var et av dem.

Les mer i Bjørn Smestads Historisk introduksjon til sannsynlighetsregning for lærerstudenter.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License