Thales' setning

Hvis du har en vinkel hvor toppunktet ligger på en sirkelbue og skjæringspunktet mellom vinkelbeina og sirkelbuen ligger på hver sin side av en diameter, vil vinkelen være rett. Setningen er oppkalt etter Thales. (Setningen er også sann den andre veien: at hvis en vinkel i en trekant er rett, vil du kunne slå en sirkel som har sentrum midt på hypotenusen og som går gjennom alle de tre hjørnene i trekanten.)

Dette er et spesialtilfelle av periferivinkelsetningen, som sier at en sentralvinkel som spenner over samme bue som en periferivinkel vil være dobbelt så stor som periferivinkelen.

I mange lærebøker regnes Thales' setning som et av de fem viktigste geometriske steder.

I konstruksjon brukes Thales' setning ofte når man skal ha en rett vinkel uten å allerede ha noen av vinkelbeina.

Eksempel:
Du skal konstruere en trekant ABC hvor AB = 5 cm, avstanden fra C til AB er 2 cm og vinkel C er en rett vinkel.
Vi konstruerer AB = 5 cm. Hvis vi nå finner midtpunktet M på AB og konstruerer en sirkel med sentrum i M og radius AM, sier Thales' setning at C må ligge på denne sirkelbuen. Hvis vi så konstruerer en linje som er parallell med AB, 2 cm fra AB, så har vi kandidater til punktet C. (Vi har faktisk to muligheter, og slik eksemplet er formulert kan vi velge hvilket vi vil som C.)

Bevis

flickr:6273096367

Vi vet at trekanten ABC har vinkelsum 180 grader. AS og CS er to radier i sirkelen, så trekanten ASC er likebeint, og derfor er vinkel SAC = vinkel SCA. Tilsvarende er BS og CS også to radier i sirkelen, trekanten SBC er likebeint, så vinkel SBC = vinkel BCS. Det betyr at vinkel ACB er like stor som de to andre vinklene i trekant ABC til sammen, så den må være 90 grader (siden vi vet at vinkelsummen i ABC er 180 grader).

Se for øvrig også beviset for periferivinkelsetningen.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License