Tredjegradslikning

En tredjegradslikning er en likning som kan skrives på formen $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

Historie

Den første som klarte å finne en formel for løsning av tredjegradslikninger, var Scipione del Ferro (1465 – 1526). Han lot være å publisere løsningen, men lot sin elev, Fior, få vite om den. Han utfordret Niccolo Tartaglia (”stammeren”), til ”duell”. I dag er det jo slik at matematikere får jobb ut fra hvor mye de har publisert, men den gangen fikk de jobb ut fra å slå hverandre i matematikkdueller – og da var det jo ikke særlig smart å publisere for mye. Hver matematiker laget 30 oppgaver til den andre, og den som klarte å løse flest av motstanderens (samtidig som han klarte å løse sine egne) vant. Fior trodde han skulle vinne ved å lage 30 tredjegradsoppgaver, men like før duellen skulle starte fant Tartaglia løsningen selv, og han vant duellen lett. Eksempel på oppgave: ”Finn et tall slik at når kuben av tallet og tallet selv adderes sammen, blir resultatet fem.”

Senere tok Girolamo Cardano kontakt, og fikk overtalt Tartaglia til å gi ham løsningen, men måtte love å aldri røpe den for noen. Denne løsningen gjorde at Cardano og hans elev Ferrari, klarte å løse fjerdegradslikningen. Dette resultatet, sammen med Tartaglias, ble publisert i 1545. Tartaglia ble kreditert, men han ble likevel rasende, og hele konflikten endte opp med en ny ”duell” mellom Tartaglia og Ferrari. Denne gang var det så klart at Tartaglia var underlegen at han rømte fra Milano før duellen var over.

I en viss forstand har tredjegradslikninger sin naturlige plass i skolen, siden volumbetrakninger gjerne gir tredjegradslikninger: Hvor bred må en kube være for å ha volum 1000 dm2, for eksempel? Men dette gir heldigvis ikke likninger som krever formelen for løsningen av den generelle tredjegradslikning.

Del Ferro huskes som den som fant tredjegradsformelen, og Cardano/Ferrari fjerdegradsformelen. Hva med formelen for løsning av femtegradslikningen? Da må vi besøke vår landsmann Niels Henrik Abel.

The MacTutor History of Mathematics archive: Quadratic, cubic and quartic equations

Løsning av tredjegradslikninger

Tredjegradslikninger kan naturligvis løses ved hjelp av del Ferros formel. De kan også løses numerisk. Men hvis man kjenner en løsning, kan man også bruke polynomdivisjon til å redusere likningen til en andregradslikning.

Eksempel

$x^3 - 3x^2 - 13x + 15 = 0$ viser seg å ha x=1 som en av løsningene. (Det kan vi finne ved å prøve oss fram. Siden konstantleddet er så fint som 15, vet vi at eventuelle heltallige løsninger må være -5, -3, -1, 1, 3 eller 5.)

Vi foretar en polynomdivisjon med (x-1) for å kunne skrive venstresiden på en enklere måte: $(x^3 - 3x^2 - 13x + 15) : (x - 1) = x^2 - 2x - 15$. Altså må likningen kunne skrives som $(x^2 - 2x - 15) \cdot (x - 1) = 0$, og da må enten x = 1 eller den første parentesen er 0. Så vi har redusert problemet til å løse en andregradslikning. (Ved løsning av likningen $(x^2 - 2x - 15) = 0$ finner vi for øvrig at x = -3 og x = 5 er de to siste mulige løsningene.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License